第15回 マクロモデルと数値計算
ややこしい計算が必要
たくさんの内生変数と連立方程式
陽に解けない関数
ただし、今回我々は解析的に簡単に解けるソローモデルで数値計算の解を確かめる。
Y_t = F(K_t,L_t) ただし、Y_tは生産（GDP）、K_tは資本、L_tは労働。
一人当たり生産をy_t\equiv Y_t/L_t、一人当たり資本ストックをk_t \equiv K_t/L_tとする。 生産関数をL_tで割ると、 \begin{aligned} \frac{Y_t}{L_t} &= F \left( \frac{K_t}{L_t} ,\frac{L_t}{L_t} \right) \\ &= F \left( \frac{K_t}{L_t} ,1 \right) \\ y_t &= F(k_t,1) \equiv f(k_t) \end{aligned}
投資量は資本ストックの蓄積に用いられる。 K_{t+1} = K_{t} + I_t - \delta K_t
\delta : 資本減耗率（減価償却率）
\begin{aligned} Y &= F(K,L) \\ K_{t+1} &= K_t + I_t - \delta K \\ sY_t &= S_t \\ S_t &= I_t \\ L_{t+1} &= (1+n) L_t \end{aligned}
代入を繰り返せば、次のように整理できる。 \begin{aligned} Y &= F(K,L) \\ K_{t+1} &= K_t + sY_t - \delta K \\ L_{t+1} &= (1+n) L_t \end{aligned}
生産関数の規模に関する収穫一定の性質を用いれば、 \begin{aligned} \frac{Y_t}{L_t} &= F\left(\frac{K_t}{L_t}, \frac{L_t}{L_t} \right) \\ &= F\left(k_t, 1 \right) \equiv f(k_t) \\ y_t &= f(k_t) \end{aligned} ただし、 y_t \equiv \frac{Y_t}{L_t}, ~ k_t \equiv \frac{K_t}{L_t}
この変形で、内生変数がY_t, K_tから、y_t, k_tに変換された。
資本蓄積式を両辺L_tで割ると、
\begin{aligned} \frac{K_{t+1}}{L_t} &= \frac{K_t}{L_t} + s \frac{Y_t}{L_t} - \delta \frac{K_t}{L_t} \\ \frac{K_{t+1}}{L_{t+1}} \frac{L_{t+1}}{L_t} &= k_t + s y_t - \delta k_t \\ (1+n) k_{t+1} &= k_t + s f(k_t) - \delta k_t \\ k_{t+1} &= \frac{k_t + s f(k_t) - \delta k_t}{1+n} \\ \end{aligned}
\Delta k_t \equiv k_{t+1} - k_tと定義する。 \Delta k_t = \frac{s f(k_t) - (\delta + n )k_t }{1+n}
\Delta k_t \equiv k_{t+1} - k_t = 0 であるとき、経済は定常状態にあるという。
定常状態におけるk_t=k^*は、次の等式を満たすように決まる。 sf(k^*) = (\delta + n) k^*
ソローモデルをコンピュータ上で表現したい場合、次の2つが必要。
F(K_t, L_t) = K^{\alpha} L^{1-\alpha} としよう。 このとき、 f(k_t) = k_t^{\alpha} である。
関数を特定化したので、この場合の解析的な解は手で解いて得ることができる。 s k^{*\alpha} = (\delta + n) k^* をk^*について解けば、 k^{*} = \left(\frac{s}{\delta + n}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}
我々が用いているソローモデルでは、次のパラメータが存在している。
これらをデータ等から当てはめる。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
## パラメータを決める
alpha = 0.33
delta = 0.066
n = 0
s = 0.267
def f(k):
return k**alpha
k = np.linspace(0 , 15, 1000)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(k,s*f(k), label = r"$sf(k_t)$")
ax.plot(k,(delta + n)*k, label = r"$(\delta+n)k_t$")
ax.legend()
fig.show()g(k) = sf(k_t) - (\delta + n)k_t = 0 を用いて、定常状態を算出
import scipy.optimize as opt
def g(k):
return s*f(k)-(delta+n)*k
kstar = opt.root_scalar(g, bracket=(0.1,10)).root
k = np.linspace(0 , 15, 1000)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(k,s*f(k), label = r"$sf(k_t)$")
ax.plot(k,(delta + n)*k, label = r"$(\delta+n)k_t$")
ax.plot(kstar,s*f(kstar), "o")
ax.legend()
fig.show()
print(f"数値計算の解 : {kstar}")
print(f"解析計算の解 : {(s/(delta+n))**(1/(1-alpha))}")数値計算の解 : 8.052326607315457
解析計算の解 : 8.05232660731546定常状態での消費を最大にするようなk^*を、資本の黄金率水準という。
c^*を最大にするk^*は、d c^*/ d k^* = 0を満たすk^*、つまり f'(k^*) = \delta + n
これは、f(k_t) = k_t^{\alpha}ならば、 \alpha k^{*\alpha-1} = \delta + n なので、 k^{*} = \left(\frac{\alpha}{\delta + n}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}
現在s=0.267の定常状態にあるとして、貯蓄率sを0.33に引き上げた場合に、消費はどう動く？
import scipy.optimize as opt
k_list = []
c_list = []
s0 = 0.267
s1 = 0.33
k0 = (s0/(delta+n))**(1/(1-alpha))
def kp(k):
## 政策変更後のk_{t+1}
return (k + s1*f(k) - delta*k)/(1+n)
def c(k,s):
## 貯蓄率sのときの消費
return (1 - s)*f(k)
## 初期値のkとcを記録する。
k_list.append(k0)
c_list.append(c(k0,s0))
## 次期以降のkをcを記録する。
periods = np.arange(200)
for t in np.arange(len(periods)-1):
k1 = kp(k0)
k_list.append(k1)
c_list.append(c(k1,s1))
k0 = k1
fig = plt.figure()
ax0 = fig.add_subplot(211)
ax0.plot(periods, k_list)
ax0.set_ylabel("k")
ax1 = fig.add_subplot(212)
ax1.plot(periods, c_list)
ax1.set_ylabel("c")
fig.show()PWTからデータを計算すると、