上級マクロ経済学II

第2回 ソローモデルと収束

1 ソローモデル

ソローモデルの概要

• 上級マクロ経済学Iでやっている（はず）

• 経済成長理論

  • ソローモデル
  • AKモデル
  • ラムゼイモデル

• 家計と企業が存在．

  • プレーンなモデルでは政府はなし．

• この講義では，離散時間で考えます．

家計

• 無限期間生存．
• 所得のsだけの割合を貯蓄．
• 非弾力的に労働供給を行う．
  • 労働力はL_t．
• 資本を保有しており，企業に貸し出す．
  • 資本（または資本ストック）はK_t．

企業

• 家計から労働，資本を借りて一般財を生産．
  • 生産量はY_t
  • 一般財：消費も貯蓄もできて，投資すると資本としても使える財．
• 生産関数はF(K_t, L_t)で表され，規模に関して収穫一定．
  • 規模に関して収穫一定：Fが一次同次関数．
  • Fは生産技術（technology）とか言われることもある．
  • L_t，K_tについて増加関数ただし2階微分は負．
• 労働1単位あたりにw_tだけの賃金を支払う．
• 資本1単位あたりにr_tだけの利子を支払う．

家計の行動

• 家計は所得のうちsだけ貯蓄するので，貯蓄をS_tとすると， S_t = s Y_t

• 消費C_tは \begin{aligned} C_t = (1-s) Y_t \end{aligned}

企業の行動

• 代表的企業は生産関数Fのもとで，資本K_t単位と労働L_t単位を使い，Y_t単位の財を生産する． Y_t = F(K_t, L_t)

• 毎期I_tだけ投資．

  • 投資：生産のための資本財を購入すること．

• 資本は毎期，\deltaの割合で減耗．

  • \delta：資本減耗率． 次期の資本を決める，資本の蓄積方程式は． K_{t+1} = I_t + K_t - \delta K_t あるいは，\Delta K_t \equiv K_{t+1} - K_tを使って， \Delta K_{t} = I_t - \delta K_t

市場均衡

I_t = S_t であるとき，市場が均衡（財市場の均衡）．

• ソローモデルでは均衡を常に分析．
  • ちなみに，資本市場と労働市場も均衡していることを暗に仮定している．
  • あるいは，資本市場，労働市場は存在せず，家計が企業を保有していると仮定しても良い．

S_t = sY_t=sF(K_t,L_t)であることを使えば，資本の蓄積方程式は次のように書き換えられる． K_{t+1} = sY_t + K_t - \delta K_t ~ \Longleftrightarrow ~ \Delta K_t = sY_t - \delta K_t あるいは， K_{t+1} = sF(K_t, L_t) + K_t - \delta K_t ~ \Longleftrightarrow ~ \Delta K_{t} = sF(K_t, L_t) - \delta K_t

経済変数の動態

\begin{aligned} K_{t+1} &= sF(K_t, L_t) + K_t - \delta K_t \\ L_{t+1} &= (1+n) L_t \end{aligned}

• n：人口成長率．

初期時点の資本K_0>0と労働L_0>0が与えられれば，モデルは閉じる．

• K_t，L_tの動態に沿って，Y_t=(K_t, L_t)も動いていく．
• 2変数の差分方程式．
  • 一次同次の生産関数の性質を使えば，1変数の差分方程式にできる．
    • 分析で簡単に取り扱える．

一人当たり資本・生産

k_t \equiv K_t/ L_t：一人当たり資本

y_t\equiv Y_t/ L_t = F(k,1) \equiv f(k_t)：一人当たり生産/一人当たり所得

k_{t+1} = \frac{sf(k_t) + (1 - \delta) k_t}{1+n} あるいは，\Delta k_t \equiv k_{t+1} - k_tを使って， \Delta k_t = \frac{sf(k_t) - (\delta + n)k_t}{1+n} 動学方程式は，k_tのみの1変数差分方程式になった．

一人当たり変数の動態

\Delta k_t = \frac{sf(k_t) - (\delta + n)k_t}{1+n}

Note

• \Delta k_t >0:
  • k_{t+1} > k_{t}なので，今期から次期にかけて，資本が成長．
• \Delta k_t <0:
  • k_{t+1} < k_{t}なので，今期から次期にかけて，資本が減少．
• \Delta k_t =0:
  • k_{t+1} = k_{t}なので，今期から次期にかけて，資本は不変．
  • このとき，経済が定常状態にある．

• 1+n >0なので，sf(k_t) - (\delta + n)k_tの符号がわかれば良い．

一人当たり成長率

一人当たり資本の成長率をg_k，一人当たりGDPの成長率をg_yとすると， \begin{aligned} g_k &= \frac{\Delta k_t}{k_t} \\ g_k &= \frac{\Delta y_t}{y_t} = \frac{y_{t+1} - y_t}{y_t} = \frac{f(k_{t+1}) - f(k_t)}{f(k_t)} \\ \end{aligned}

定常状態を描写

定常状態は k_t = k_{t+1} = k^\ast のとき．

そのときは， s f(k^\ast) = (\delta + n) k^\ast

コブ・ダグラス型生産関数

F(K_t, L_t) = A K_t^{\alpha} L_t^{1-\alpha}, ~ (0<\alpha<1) を仮定して今後は議論．

• A：全要素生産性（Total Factor Productivity, TFP）
• \alpha: 資本の弾力性パラメーター，あるいは，資本分配率．

一人当たり生産は， f(k_t) = A k_t^{\alpha}

定常状態のk^{\ast}は， k^{\ast} = \left( \frac{sA}{\delta + n} \right)^{\frac{1}{1-\alpha}}

一人当たり資本の成長率と定常状態

一人当たり資本の成長率は， \begin{aligned} g_k &= \frac{sAk_t^{\alpha} - (\delta + n)k_t}{(1+n)k_t} \end{aligned}

• 定常状態\Delta k_t = 0であれば，当然g_k = \Delta k_t / k_t = 0．

一人当たり所得の成長率と定常状態

一人当たりの成長率は， \begin{aligned} g_y &= \frac{k_{t+1}^{\alpha} - k_{t}^{\alpha}}{k_t^{\alpha}} \\ &= \left( \frac{k_{t+1}}{k_t} \right)^{\alpha} - 1 \\ &= (1+g_k)^{\alpha} - 1 \\ &= \left[ \frac{sAk_t^{\alpha} +(1-\delta)k_t}{(1+n)k_t} \right]^{\alpha} - 1 \end{aligned}

• 定常状態\Delta k_t = 0であればg_k= 0なので，g_y=0．

経済成長への含意（ソローモデル）

絶対的収束

• ソローモデルは，定常状態において，k_tの成長率はゼロ．
  • それに伴いy_tの成長率もゼロ．
• 定常状態は一意（ひとつだけ）．
  • どんなk_tからスタートしても，最終的に辿り着くk^{\ast}は同じ．
• 定常状態から離れている経済ほど，成長率が高い．
  • 発展途上国のキャッチアップ．

実証的な観測

一人当たりの所得水準を

• low（0 - 10,000 US$）
• middle（10,000 - 20,000 US$）
• high (20,000 - US$)

で色分けしてプロット

• 低所得から高所得へスムーズに推移していく成長経路に見えるか？

サブサンプル

定常状態の予測値（\hat{k}^{\ast}）

Brazil	France	Japan	US
127.4	375.8	229.1	480.7

• どうやらたどり着く先は異なりそう．
• 収束までのスピードも違いそう．

成長への含意を修正

条件付き収束

• ソローモデルは，定常状態において，k_tの成長率はゼロ．
  • それに伴いy_tの成長率もゼロ．
• 定常状態はあるパラメータセットに対して一意（ひとつだけ）．
  • どんなk_tからスタートしても，同じパラメータセットを持つ国なら最終的に辿り着くk^{\ast}は同じ．
• 定常状態から離れている経済ほど，成長率が高い．
  • 発展途上国のキャッチアップ．

ソローモデルのパラメータ変化

• sの変化でg_y曲線がシフト．
  • 定常状態のk^{\ast}の値が変化．
• その他のパラメータA，\alphaなどの変化がどのような変化をもたらす？